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2020高考数学大一轮复*第九章*面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书理苏教

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2020高考数学大一轮复*第九章*面解析几何99圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书理苏教
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【20xx 最新】精选高考数学大一轮复*第九章*面解析几 何 9-9 圆锥曲线的综合问题第 2 课时范围最值问题教师用
书理苏教
题型一 范围问题 例 1 (20xx·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0), 离心率为,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2=截 得的线段的长为 c,FM=. (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于,求直线 OP(O 为原点) 的斜率的取值范围. 解 (1)由已知,有=, 又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2,b2=2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x +c). 由已知,有 2+2=2, 解得 k=. (2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线 FM 的方程为 y=(x+c),两个方 程联立,消去 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=-c 或 x=c. 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为. 由 FM= =. 解得 c=1,所以椭圆的方程为+=1. (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=,即直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立 消去 y,
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整理得 2x2+3t2(x+1)2=6, 又由已知,得 t= >, 解得-<x<-1 或-1<x<0. 设直线 OP 的斜率为 m,得 m=,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立, 整理得 m2=-. ①当 x∈时,有 y=t(x+1)<0, 因此 m>0,于是 m= ,得 m∈. ②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0, 因此 m<0,于是 m=- , 得 m∈. 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是∪. 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数 的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建 立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其 值域,从而确定参数的取值范围. (20xx·扬州模拟)如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别 为 F1,F2,P 是椭圆上一点,点 M 在 PF1 上,且满足=λ (λ∈R), PO⊥F2M,O 为坐标原点. (1)若椭圆的方程为+=1,且点 P 的坐标为(2,),求点 M 的横坐标; (2)若 λ=2,求椭圆离心率 e 的取值范围.
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解 (1)因为椭圆的方程为+=1, 所以点 F1 的坐标为(-2,0),点 F2 的坐标为(2,0), 所以 kOP=,=-,=, kF2M kF1M 所以直线 F2M 的方程为 y=-(x-2), 直线 F1M 的方程为 y=(x+2). 联立 解得 x=, 所以点 M 的横坐标为. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),点 M 的坐标为(xM,yM), 因为=2, 所以=(x0+c,y0)=(xM+c,yM), 所以点 M 的坐标为(x0-c,y0), F→2M=(x0-c,y0). 因为 PO⊥F2M,=(x0,y0), 所以(x0-c)x0+y=0,即 x+y=2cx0.
x20+y20=2cx0, 联立xa202+yb202=1,
消去 y0,得 c2x-2a2cx0+a2(a2-c2)=0, 解得 x0=或 x0=. 因为-a<x0<a,所以 x0=∈(0,a), 所以 0<a2-ac<ac,解得 e>. 又椭圆离心率 e∈(0,1), 故椭圆离心率 e 的取值范围为(,1). 题型二 最值问题 命题点 1 利用三角函数有界性求最值
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例 2 (20xx·徐州模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线

于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则 AF·BF 的最小值是_____.

答案 4

解析 设直线 AB 的倾斜角为 θ,可得 AF=,BF=,则 AF·BF=×

=≥4.

命题点 2 数形结合利用几何性质求最值

例 3 (20xx·江苏)在*面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=

1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成

立,则实数 c 的最大值为_____________.

答案

2 2

解析 双曲线 x2-y2=1 的渐*线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与

渐*线 x-y=0 *行,故两*行线的距离 d==.由点 P 到直线 x-y

+1=0 的距离大于 c 恒成立,得 c≤,故 c 的最大值为.

命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值

例 4 (20xx·山东)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的长轴长为 4,焦

距为 2.

(1)求椭圆 C 的方程.

(2)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在

第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另

一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.

①设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明为定值;

②求直线 AB 的斜率的最小值.

(1)解 设椭圆的半焦距为 c.

由题意知 2a=4,2c=2.

所以 a=2,b==.

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所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)①证明 设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m). 所以直线 PM 的斜率 k==. 直线 QM 的斜率 k′==-. 此时=-3.所以为定值-3. ②解 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由①知直线 PA 的方程为 y=kx+m,则 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

y=kx+m, 联立x42+y22=1,

整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0,

由 x0x1=,可得 x1=,

所以 y1=kx1+m=+m.

同理 x2=,y2=+m.

所以

x2-x1=-

2 m2-2 2k2+1

x0

=,

y2-y1=+m--m

=,

所以 kAB===,

由 m>0,x0>0,可知 k>0,

所以 6k+≥2,当且仅当 k=时取“=”.

因为 P(x0,2m)在椭圆+=1 上,

所以 x0=,故此时=,

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即 m=,符合题意. 所以直线 AB 的斜率的最小值为. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有 两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以 及*面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要 求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式), 然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(20xx·扬州预测)已知圆(x-a)2+(y+1-r)2=r2(r>0) 过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设 P 为直线 l:x-y-2=0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF·BF 的最小值. 解 (1)依题意,由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x2=4y. (2)抛物线 C 的方程为 x2=4y,即 y=x2, 求导得 y′=x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中 y1=,y2=), 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1,x2, 所以切线 PA 的方程为 y-y1=(x-x1), 即 y=x-+y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解.
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所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0.

(3)由抛物线定义可知 AF=y1+1,BF=y2+1,

所以 AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,

联立方程消去 x 整理得 y2+(2y0-x)y+y=0,

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x-2y0,y1y2=y,

所以 AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2,

所以 y+x-2y0+1=2y+2y0+5=2(y0+)2+,

所以当 y0=-时,AF·BF 取得最小值,且最小值为.

1.(20xx·昆明两区七校调研)过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 l 交

抛物线于 A,B 两点,且直线 l 的倾斜角 θ≥,点 A 在 x 轴上方,则

FA 的取值范围是__________.

答案 (,1+]

解析 记点 A 的横坐标是 x1,则有 AF=x1+14

=(+AF·cos θ)+=+AF·cos θ,

AF(1-cos θ)=,AF=.

由≤θ<π 得-1<cos θ≤,2-≤2(1-cos θ)<4,<≤=1+,

即 AF 的取值范围是(,1+].

2.已知 P 为双曲线 C:-=1 上的点,点 M 满足||=1,且·=0,

则当||取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐*线的距离为________.

答案

12 5

解析 由·=0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求 MP 的最小值可以转

化为求 OP 的最小值,当 OP 取得最小值时,点 P 的位置为双曲线的

顶点(±3,0),而双曲线的渐*线为 4x±3y=0,∴所求的距离 d=.

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3.已知 F1,F2 分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,对于 左支上任意一点 P 都有 PF=8a·PF1(a 为实半轴长),则此双曲线的 离心率 e 的取值范围是__________. 答案 (1,3] 解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义, 得 PF2=2a+PF1,所以=PF1++4a=8a,所以 PF1=2a,PF2=4a, 在△PF1F2 中,PF1+PF2≥F1F2, 即 2a+4a≥2c,所以 e=≤3. 又 e>1,所以 1<e≤3. 4.(20xx·宿迁质检)若点 O 和点 F 分别为椭圆+=1 的中点和左焦 点,点 P 为椭圆上的任意一点,则·的最小值为________. 答案 6 解析 点 P 为椭圆+=1 上的任意一点, 设 P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2), 依题意得左焦点 F(-1,0),∴=(x,y),=(x+1,y), ∴·=x(x+1)+y2=x2+x+72-98x2 =·2+. ∵-3≤x≤3,∴≤x+≤, ∴≤2≤, ∴≤2≤, ∴6≤·2+≤12, 即 6≤·≤12.故最小值为 6. 5.(20xx·郑州第一次质量预测)已知椭圆 C1:-=1 与双曲线 C2: +=1 有相同的焦点,则椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为________. 答案 (,1)
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解析 ∵椭圆 C1:-=1, ∴a=m+2,b=-n,c=m+2+n, e==1+. ∵双曲线 C2:+=1, ∴a=m,b=-n,c=m-n, ∴由条件知 m+2+n=m-n,则 n=-1, ∴e=1-. 由 m>0,得 m+2>2,<,->-, ∴1->,即 e>,而 0<e1<1, ∴<e1<1. 6.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 的两侧,·=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的 最小值是________. 答案 3 解析 依题意不妨设 A(x1,),B(x2,-),·=2? x1x2-=2? = 2 或=-1(舍去).当 x1=x2 时,有 x1=x2=2,则 S△ABO+S△AFO =2+=;当 x1≠x2 时,直线 AB 的方程为 y-=(x-x1),则直线 AB 与 x 轴的交点坐标为(2,0).于是 S△ABO+S△AFO=×2×(+)+× =+≥2=3(当且仅当=时取“=”),而>3,故填 3. 7.已知椭圆 C1:+=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且 垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于 M,N 两点.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时, 求 h 的最小值.
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解 (1)由题意,得从而ab==21,. 因此,所求的椭圆 C1 的方程为+x2=1. (2)如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′. 直线 MN 的方程为 y=2tx-t2+h. 将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 即 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.① 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3, 则 x3==. 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4,则 x4=. 由题意,得 x3=x4, 即 t2+(1+h)t+1=0.③ 由③式中的 Δ2=(1+h)2-4≥0,得 h≥1 或 h≤-3. 当 h≤-3 时,h+2<0,4-h2<0, 则不等式②不成立,所以 h≥1. 当 h=1 时,代入方程③得 t=-1, 将 h=1,t=-1 代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为 1. 8. (20xx·苏北四市联考)如图,在*面直角坐标系 xOy 中,已知椭 圆 C:+=1(a>b>0)的离心率 e=,左顶点为 A(-4,0),过点 A 作斜 率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E. (1)求椭圆 C 的标准方程;
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(2)已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP⊥EQ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若过点 O 作直线 l 的*行线交椭圆 C 于点 M,求的最小值. 解 (1)因为左顶点为 A(-4,0), 所以 a=4,又 e=,所以 c=2. 又因为 b2=a2-c2=12, 所以椭圆 C 的标准方程为+=1. (2)直线 l 的方程为 y=k(x+4), 联立得+=1, 化简,得(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12]=0, 所以 x1=-4,x2=. 当 x=时,y=k(+4)=, 所以点 D 的坐标为(,). 因为 P 为 AD 的中点, 所以点 P 的坐标为(,), 则 kOP=-(k≠0). 直线 l 的方程为 y=k(x+4),令 x=0,得点 E 的坐标为(0,4k). 假设存在定点 Q(m,n)(m≠0),使得 OP⊥EQ,则 kOPkEQ=-1, 即-·=-1,所以(4m+12)k-3n=0, 所以 解得mn==-0,3, 因此定点 Q 的坐标为(-3,0). (3)因为 OM∥l,所以 OM 的方程可设为 y=kx, 联立得点 M 的横坐标为 x=±. 由 OM∥l,
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得==xD|-xM2|xA ==· 4k2+9
4k2+3
=(+)≥2, 当且仅当=,即 k=±时取等号. 所以当 k=±时,取得最小值为 2. 9.如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别 为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:-=1 的左,右焦点分别为 F3, F4,离心率为 e2.已知 e1e2=,且 F2F4=-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值. 解 (1)因为 e1e2=,所以 ·=,即 a4-b4=a4,因此 a2=2b2, 从而 F2(b,0),F4(b,0),于是 b-b=F2F4=-1,所以 b=1,a2= 2. 故 C1,C2 的方程分别为+y2=1,-y2=1. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0), 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1. 由得(m2+2)y2-2my-1=0. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1,y2 是上述方程的两个实根, 所以 y1+y2=,y1y2=. 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2=, 于是 AB 的中点为 M(,),
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故直线 PQ 的斜率为-,PQ 的方程为 y=-x, 即 mx+2y=0. 由得(2-m2)x2=4, 所以 2-m2>0,且 x2=,y2=, 从而 PQ=2=2 . 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d, 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, 所以 2d=. 因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2| =|mx1+2y1-mx2-2y2|, 从而 2d=. 又因为|y1-y2|= y1+y2 2-4y1y2 =, 所以 2d=. 故四边形 APBQ 的面积 S=·PQ·2d ==2·. 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取得最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2.
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