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不定积分第一类换元法

发布时间:

不定积分第一类换元法(凑微分法)

一、 方法简介
设 f (x) 具有原函数 F(u) ,即 F'(u) ? f (u) , ? f (u)du ? F(u) ? C ,如果U 是

中间变量, u ? ?(x) ,且设?(x) 可微,那么根据复合函数微分法,有

dF[?(x)] ? f [?(x)]?'(x)dx 从而根据不定积分的定义得

则有定理:

? ? f [?(x)]?'(x)dx ? F[?(x)]? C ? [ f (u)du]u??(x) .

设 f (u) 具有原函数, u ? ?(x) 可导,则有换元公式

? ? f [?(x)]?'(x)dx ? [ f (u)du]u??(x)

由此定理可见,虽然

?

f

[? ( x)]? ' ( x)dx

是一个整体的记号,但如用导数记号

dy dx

中的 dx 及 dy 可看作微分,被积表达式中的 dx 也可当做变量 x 的微分来对待,从

而微分等式?'(x)dx ? du 可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式:

○1

?

f

(ax

?

b)dx

?

1 a

?

f

(ax

?

b)d

(ax

?

b)

(a ? 0) ;

○2 ? f (sin x) cosxdx ? ? f (sin x)d sin x , ? f (cosx)sin xdx ? ?? f (cosx)d cosx ,

?

f

(tan x)

dx cos2

x

?

?

f

(tan x)d

tan

x



?

f

(c ot x)

dx sin 2

x

?

??

f

(c ot x)d

cot x ;

○3

?

f

(ln

x)

1 x

dx

?

?

f

(ln

x)d

ln

x



?

f

(e x

)e x dx

?

?

f

(e x

)de x



○ ? ? ? ? 4

f (xn )xn?1dx ? 1 f (xn )dxn (n ? 0) , f (1) dx ? ? f (1)d (1) ,

n

x x2

xx

? f(

x)

dx x

?

2?

f

(

x )d (

x);

○5 ? f (arcsin x)

dx 1? x2

? ? f (arcsin x)d arcsin x ;

1

?

f (arctanx) dx 1? x2

??

f (arctanx)d arctanx ;

○6 复杂因式

【不定积分的第一类换元法】
已知 ? f (u)du ? F(u) ? C

求 ? g(x)dx ? ? f (?(x))? '(x)dx ? ? f (?(x))d?(x) 【凑微分】

? ? f (u)du ? F(u) ? C

【做变换,令 u ? ?(x) ,再积分】

? F(?(x)) ? C

【变量还原, u ? ?(x) 】

? 【求不定积分 g(x)dx 的第一换元法的具体步骤如下:】 ? ? (1)变换被积函数的积分形式: g(x)dx ? f (?(x))? '(x)dx ? (2)凑微分: g(x)dx ? ? f (?(x))? '(x)dx ? ? f (?(x))d?(x) (3)作变量代换 u ? ?(x) 得:? g(x)dx ? ? f (?(x))? '(x)dx ? ? f (?(x))d?(x) ? ? f (u)du ? (4)利用基本积分公式 f (u)du ? F(u) ? C 求出原函数:
? g(x)dx ? ? f (?(x))? '(x)dx ? ? f (?(x))d?(x) ? ? f (u)du ? F(u) ? C
(5)将 u ? ?(x) 代入上面的结果,回到原来的积分变量 x 得:

? g(x)dx ? ? f (?(x))? '(x)dx ? ? f (?(x))d?(x) ? ? f (u)du ? F(u) ? C ? F(?(x)) ? C
【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量 u ? ?(x) ,省略(3)(4)步骤,这与复合函数
的求导法则类似。

2

二、典型例题

○1

?

f

(ax

?

b)dx

?

1 a

?

f

(ax

?

b)d (ax

?

b)

(a ? 0) ;

? 例 1. (2x ?1)2010 dx

? 例 2.

x3

[1]

1? x2

例 3. ?

xdx

[1]

1 ? x 2 ? (1 ? x 2 )3

? 例 4. x3 ? x dx [1] 1? x4

1.解:令 u ? 2x ?1, du ? 2dx ,

? (2x ?1)2010 dx ? 1 ? u 2011 ? C ? 1 ? (2x ? 1)2011 ? C

2 2011

2 2011

2.解:令 t ? x2 ,

?

? x3 ? 1
1? x2 2

tdt 1? t

?

1 2

?

(t

? 1 ?1)dt 1? t

?

1 2

?

t

?

1d

(t

?

1)

?

1 2

?

1 d (t ? 1) t ?1

?

1

?

2 (t

3
? 1) 2

?

1

?2

1? t

?C

?

1 (x2

3
?1) 2

?

1? x2 ?C

23

2

3

? ? 3.解:

xdx

?1

1 ? x 2 ? (1 ? x 2 )3 2

d (1 ? x 2 )
2
(1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) 3

令1? x2 ? t

原式

?

1 2

?

dt

3

?

1 2

?

t ?t2

dt t ? 1?

? ? d( t ?1)

t

1? t

? 2 1? t ?C ? 2 1? 1? x2 ?C

? ? ? 4.解: x3 ? x dx ?
1? x4

x3 dx ? 1? x4

x dx
1? x4

? ? ? ? 1 d(1? x4 ) ? 1 dx2
4 1? x4 2 1? x4

3

? ? 1 ? 2 ? 1 ? x4 ? 1 arcsinx2 ? C

4

2

? 1 (arcsinx2 ? 1 ? x4 ) ? C 2

○2 ? f (sin x) cosxdx ? ? f (sin x)d sin x,? f (cosx)sin xdx ? ?? f (cosx)d cosx ,

?

f

(tan x)

dx cos2

x

?

?

f

(tan x)d

tan

x



?

f

(c ot x)

dx sin 2

x

?

??

f

(c ot x)d

cot x ;

? 例 1. tan xdx [2]

? 例 2.

x dx [2]

sin 2 x

? 例 3. 1 ? sin x ? cosxdx [1] 1 ? sin 2 x

? 例 4.

dx

[1]

sin x cos4 x

? 例 5.

dx

[1]

sin x cos3 x

? 例 6. sin x cosx dx [1] sin 4 x ? cos4 x

? 例 7.设 a, b 为常数,且 a ? 0 ,计算 I ?

tan x

dx [1]

a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x

1.解:设 u ? cos x , du ? ?sin xdx, ? du ? sin xdx

?

tan

xdx

?

?

sin x c os x

dx

?

?

?

du u

?

? ln(u)

?

C

?

? ln(cosx)

?

C

2.解:

?

x sin 2

x

dx

?

?

xd (c ot x)

?

?x cot x

?

? cot xdx

? ?xcot x ? ln sin x ? C

3.解:

1 ? sin x ? cosx
? 1 ? sin 2 x dx

?

?

2

?

dx cos2

x

?

?

? 2

d (c osx) ? cos2 x

?

d(sin x)
? 1? 2sin 2 x

??

cos2

dx x(2 s ec2

x

? 1)

?

2

1 2

ln

2 ? cosx ? arctan(sinx) 2 ? cosx

? ? 1 ln 22

2 2

? ?

c os x c os x

?

arctan(sinx)

?

d tan x
? 1? 2 tan2

x

? ? 1 ln 2 ? cosx ? arctan(sinx) ? 1 arctan( 2 tan x) ? C

2 2 2 ? cosx

2

? ? ? ? 4.解:

dx ?
sin x cos4 x

sin 2 x ? cos2 x dx ? sin x cos4 x

sin x dx ? cos4 x

sin 2 x ? cos2 xdx sin x cos2 x

d cosx d cosx dx
? ?? cos4 x ? ? cos2 x ? ? sin x

1

1

?

? ? ln cscx ? cot x ? C

3cos3 x cosx

4

? ? ? 5.解:

dx ?
sin x cos3 x

tan

dx x cos4

x

?

sin 2 x ? cos2 x tan x cos2 x d tan x

?? 1 ? tan2 x d tan x ? 1 tan2 x ? ln tan x ? C

tan x

2

6.解:令 u ? 2x ,再令 v ? cosu ,有

sin x cosx

1

sin 2x

1

sin u

? ? ? dx ?

dx ?

du

sin 4 x ? cos4 x

2 cos2 2x ? 1 sin 2 2x

4 cos2 u ? 1 sin 2 u

2

2

? ? ? ? 1
4

d cosu

??1

cos2 u ? 1 ? 1 cos2 u 2

dv 1? v2

22

? ? 1 arctanv ? C ? ? 1 arctan(cos2x) ? C

2

2

? ? 7.解: I ?

tan x

dx ? tan xd tan x

cos2 x(a 2 tan 2 x ? b2 )

a 2 tan 2 x ? b2

? ? ? 1

d (a 2 tan 2 x ? b2 ) ?

1

ln(a 2 tan2 x ? b2 ) ? C

2a 2 a 2 tan 2 x ? b2 2a 2

○3

?

f

(ln

x)

1 x

dx

?

?

f

(ln

x)d

ln

x,

?

f

(e x

)e x dx

?

?

f

(e x

)de x



? 例 1.

dx

[3]

x(1 ? 2 ln x)

? 例 2. e5x dx [2]

? 例 3.

e x dx [2]

3 ? 4e x

? 例 5. 1 ? e x dx [1] x (1 ? e 2 )2

? 例 7.

xe x dx [1] ex ? 2

? 例 4.

dx

[2]

x 1 ? ln 2 x

? 例 6. 2 x ? 3x dx [1]
9x ? 4x

? 例 8. ln tan x dx [2] cosx sin x

1.解:

?

x(1

dx ? 2 ln

x)

?

?

d 1?

ln x 2 ln

x

?

1 2

?

d(1? 2ln x) 1? 2ln x

?

1 2

ln 1 ?

2 ln

x

?

C

2.解 :令 u ? 5x , du ? 5dx

5

? ? e5xdx ? 1 eu du ? 1 eu ? C ? 1 e5x ? C

5

5

5

3.解:令 u ? 3 ? 4ex , du ? 4exdx ,

?

ex 3 ? 4e x

dx

?

1 4

?

1 u

du

?

1 ln u 4

?C

? 1 ln(3 ? 4ex ) ? C 4
4.解:令 u ? ln x , du ? 1 dx x

?
x

dx 1 ? ln 2

x

?

?

1 du ? arcsin u ? C 1?u2

? arcsin(lnx) ? C

x

x

x

? ? ? 5.解: 1? ex dx ? (1 ? e 2 )2 ? 2e 2 dx ? x ? 2

x

x

e 2 dx x

(1 ? e 2 )2

(1 ? e 2 )2

(1 ? e 2 )2

x

? ? x ? 4 d (e 2 ?1) ? x ? x

4 ?C x

(1 ? e 2 )2

1? e2

? ? ? 6.解:

2x ?3x 9x ? 4x

dx

?

(3)x 2

dx ? 1

(3)2x ?1

ln 3

d[(3)x ] 2
[(1)x ]2 ?1

2

22

?

1

(3)x ?1

ln 2

?C

2(ln 3 ? ln 2) ( 3) x ? 1

2

?

1

ln 3x ? 2x ? C

2(ln 3 ? ln 2) 3x ? 2x

? ? ? 7.解:

xe x

dx ?

xd(ex ? 2) ?2

xd (

ex ? 2)

ex ?2

ex ?2

? ? 2x ex ? 2 ? 2 ex ? 2dx

令 e x ? 2 ? t 2 , ex ? 2 ? t 2 , x ? ln(2 ? t 2 ) , dx ? 2t dt 2?t2

? ? 原式 ? 2x ex ? 2 ? 2t

2t

dt ? 2x

ex ? 2 ? 4

t2 ?2?2 dt

2?t2

2?t2

6

? ? 2x ex ? 2 ? 4 (1? 2 )dt 2?t2

? 2x e x ? 2 ? 4t ? 8 ? 1 arctan t ? C

2

2

? 2x ex ? 2 ? 4 ex ? 2 ? 4 2 arctan ex ? 2 ? C 2

8.解:

?

ln cos

tan x x sin x

dx

?

?

ln tan x tan x

d

tan

x

?

?

ln

tan

xd

(ln

tan

x)

? (ln tan x)2 ? C 2

○ ? ? ? ? 4

f (xn )xn?1dx ? 1 f (xn )dxn (n ? 0) , n

f

(1) x

dx x2

?

?

f (1)d(1) xx



? f(

x)

dx x

?

2?

f

(

x )d (

x);

? 例 1.

e3

x
dx [2]

x

? 例 3. x 1 ? x dx [4] 1? x

? 例 5 1 3 (x ?1)2 dx [1]

x2

x2

? 例 2.

x3 dx [4] 1? x2

? 例 4.

dx

[1]

x( ln x ? a ? ln x ? b )

? 例 6.

dx

(a ? 0) [1]

x(a ? x)

? 例 7 arcsin x dx [1] 1? x 1.解: d x ? 1 dx
2x

? ? ? e3

x
dx ? 2

e3

xd

x?2

e3 x d (3

x) ? 2 e3 x ? C

x

3

3

? ? ? 2.解: x3 dx ? 1 x2 dx2 ? 1 ( 1? x2 ? 1 )d(1? x2 )

1? x2

2 1? x2

2

1? x2

?

1 (1 ?

3
x2)2

?

1? x2 ?C

3

7

3.解:

?

x

1? x 1? x

dx

?

?

x(1? x) 1? x2

dx

?

?

xdx
1? x2 ? ?

x 2 dx 1? x2

对于右端第一个积分,凑微分得

? ? x

1

dx ? ?

(1 ?

x2

?
)

2

d

(1

?

x2)

?

?

1? x2 ?C

1? x2

第二个积分中,用代换 x ? sin t

? ? ? x2

sin 2 t

1 ? cos2 t

dx ?

costdt ?

dt

1? x2

cos t

2

? t ? 1 sin 2t ? C ? 1 arcsinx ? 1 x 1? x2 ? C

24

2

2

原式 ? 1 arcsinx ? 1 (x ? 2) 1 ? x2 ? C

2

2

4.解: ? x(

dx ln x ? a ?

ln x ? b) ? ?

ln x ? a ? ln x ? b dx x(a ? b)

?

a

1 ?

b

?

ln

x

?

ad

(ln

x

?

a)

?

a

1 ?

b

?

ln x ? bd(ln x ? b)

?

2

3

3

[(ln x ? a) 2 ? (ln x ? b) 2 ] ? C

3(a ? b)

? ? ? 5.解: 1 3 (x ?1)2 dx ? ? 3 (1 ? 1 )2 d ( 1 ) ? 3 (1 ? 1 )2 d (1 ? 1 )

x2

x2

xx

x

x

?

3

(1 ?

1

)

5 3

?

C

55

6.解: ?

dx x(a ?

x)

?

2?

d x ? 2 arcsin a ? ( x)2

x ?C a

7.解:

?

arcsin 1? x

x

dx

?

?

2? arcsin

xd(

1? x)

? ?2 1? x arcsin

x ? 2?

1? x d 1? x

x

? ?2 1 ? x arcsin x ? 2 x ? C

○5 ? f (arcsin x)

dx 1? x2

? ? f (arcsin x)d arcsin x

8

?

f (arctanx) dx 1? x2

?

?

f (arctanx)d arctanx ;

? 例 1. 102arccosx dx [3] 1? x2

? 例 2. arctan x dx [4]
x(1? x)

? 例 3. 1 ? arctan x dx [1] x (1 ? x)

? 例 4.

xdx

[1]

1 ? x4 (arcsinx2 )3

? 例 5. arcsin x ? 1 ? x2 dx [1]

x2

1? x2

? ? 1.解:

102 arccosx dx ?

? 10 2arccosxd arccos x ? ? 10 2arccosx ? C

1? x2

2 ln 10

2.解:

?

arc x

tan (1 ?

x x)

dx

?

?

2

arctanx 1? x

d

x ? ? 2arctan

xd (arc tan

x)

? (arctan x )2 ? C

3.解: ?

1 ? arctan x (1 ? x)

x

dx

?

?

1 ? arctan x dx
x[1 ? ( x )2 ]

? 2? 1? arctan x d(arctan x ?1)

? 4 (1 ? arctan

3
x)2 ?C

3

? ? ? 4.解:

xdx

?1

1 ? x4 (arcsinx2 )3 2

dx 2 (arcsinx2 )3

?1 1? x4 2

d arcsinx2 (arcsinx2 )3

? ? 1 (arcsinx2 )?2 ? C 4

5.解:

?

arcsin x 1? x2

dx

?

? arcsin

xd (arcsin

x)

?

1 2

(arcsin

x)2

?

C

令 x ? sin t ,

? ? ? dx ?

d sin t

? dt

x 2 1 ? x 2 sin 2 t 1 ? sin 2 t sin 2 t

? ? cot t ? C ? ? 1 ? x 2 ? C x

9

? ? ? ? arcsinx dx ? arcsinxd( ? 1? x2 ) ? ? arcsinx( 1? x2 ) ? dx

x2 1? x2

x

x

x

? ? 1 ? x 2 arcsin x ? ln x ? C x

? ? ? arcsinx ? 1? x2 dx ? (arcsinx ? arcsinx )dx

x2

1? x2

1? x2 x2 1? x2

? 1 arc 2 sin x ? 1 ? x 2 arcsin x ? ln x ? C

2

x

○6 复杂因式 ? 例 1. x 2 ? 1 dx [4]
x4 ?1
? 例 3. 1 ? ln 1 ? x dx [1] 1? x2 1? x

1

arctan

? 例 2.

x dx [1]

1? x2

? 例 4.

ln( x ? 1 ? x2 ) dx [1] 1? x2

? 例 5. 1 ? cos x dx [1] sin x

? 例 6. e x (1 ? sin x )dx [1] 1? cosx

? ? ? 1.解:

x2 ?1 dx ? x4 ?1

1? 1

x2 dx ?

x2

?

1 x2

d(x ? 1) x
(x ? 1)2 ? 2 x

?

1

x?1 arctan x ? C ?

1

arctan x2 ?1 ? C

2

2

2

2x

2.解:?

(arc tan 1 )' ? x

1?

1 (1)2

(1)'? x

?

1

1 ?x

2

x

1

??

arctan x dx
1? x2

?

??

(arctan1 x

)d

(arctan1 x

)

?

?

1 2

(arc tan 1 ) 2 x

?

C

3.解:?

(ln

1 1

? ?

x x

)'

?

1

2 ?x

2

?

?

1

1 ?x

2

? ln 1? 1?

x x

dx

?

1 2

? ln

1? 1?

x x

d(ln 1? 1?

x) x

?

1 (ln 1? 4 1?

x)2 x

?C

10

? 4.解: dx ? ln( x ? x2 ? 1) ? C
x2 ?1

? ? ?

ln( x ? 1 ? x2 ) dx ?

ln( x ? 1 ? x2 )d (ln(x ? x2 ? 1))

1? x2

? 2 [ln( x ?

3
1 ? x 2 )] 2 ? C

3

5.解: ?

1? cosx sin x

dx

?

?

2

2 sin

cos x 2
x cos

x

dx

?

2 2

?

dx sin x

22

2

?

d(tan x)

2?

4 tan x

?

2 ln tan x ? C 4

4

? ? 6.解:

e x (1 ? sin x )dx ?

e x (1 ? sin x)(1 ? cos x) dx

1 ? cos x

1 ? cos2 x

? ? ? ? ? ex dx ? ex cos x dx ? ex dx ? ex cot xdx

sin 2 x

sin 2 x

sin x

?

?

e

x d (?

cot

x)

?

?

ex

d

(?

1 sin

x

)

?

?

ex sin

x

dx

?

?

ex

cot

xdx

? ?e x cot x ? e x ? C sin x

11

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立:

(1) dx ? d(ax+b)(a≠0);

(2) dx?

d(7x?3);

(3) xdx?

d(5 x2 );

(4) xdx?

d(1? x2 );

(5) x3 dx?

d(3 x4 ?2);

(6) e2x dx?

d( e2x );

?x
(7) e 2 dx?

?x
d(1+ e 2 );

(8)

dx
?

x

d(5ln|x|);

(9) dx ? 1? x2

d(1?arcsinx);

(10)

xdx
?

1? x2

d 1? x2 ;

(11)

dx 1? 9x2 ?

(13) (3 x2 ?2)dx?

d(arctan3x);
d(2x? x3 );

(12)

dx 1? 2x2

?

d(arctan 2 x);

(14) cos( 2x ?1)dx? 3

dsin( 2x ?1). 3

? 1 求 2cos 2x dx.

2

求?

1 dx . 2x ?5

? 3 求 tan xdx.

? 4 求 x 1? x2 dx.

? 5 求

a2

1 ?

x2

dx.

12

? 6 求

1 dx(a>0). a2 ? x2

? 7 求 sin3 xdx.

? 8 求 sin2 xdx.

? 例 9



a2

1 ?

x2

dx(a

为常数,a≠0).

? 例 10 求 sec x dx.

? 例 11 求 cos 3x cos2xdx. ? 例 12 求 e3 x dx.
x
13

? 例 13 求 tan5 x sec3 x dx

2.求下列不定积分:
? (1) e5tdt ;

(3)

?

1

dx ? 2x

;

? (5) sin t dt ;
t

? (7) tan10 x sec2 xdx ;

(9)

?

sin

dx x cos

x

;

? (11)

dx ;

ex ? e?x

? (13)

3x3 1? x4

dx

;

? (2) (3 ? 2x)3 dx;

? (4)

dx ;

3 2 ? 3x

(6)

?

x

ln

dx x ln

ln

x

;

? (8) x e?x2 dx ;

? (10) tan 1? x2 ? xdx ;
1? x2

? (12)

x dx ;

2 ? 3x2

? (14) sin x dx ; cos3 x

14

1、解 被积函数中,cos2x 是 cosu 与 u?2x 的复合函数,常数因子 2 恰好是中间变量
u?2x 的导数,因此作变量代换 u?2x,便有
? ? ? ? 2cos 2x dx? cos 2x ·2dx? cos 2x ·(2x)′dx= cos udu=sinu+C.

? 再以 u?2x 代入,即得 2 cos2xdx?sin2x+C.

2、解

1 可看成 1 与 u?2x+5 的复合函数,被积函数中虽没有 u′?2 这个因子,但我

2x ?5

u

们可以凑出这个因子: 1 ? 1 · 1 ·2? 1 · 1 ·(2x+5)′,

2x ?5 2 2x ?5

2 2x ?5

从而令 u?2x+5,便有

? ? ? ? 1 dx ? 1 · 1 (2x+5)dx= 1

1 d(2x+5)= 1 1 du

2x ?5

2 2x ?5

2 2x ?5

2u

1
? ln

u

+C= 1 ln 2x ? 5

+C.

2

2

? 一般地,对于积分 f (ax+b)dx,总可以作变量代换 u?ax+b,把它化为

3、解

? ? ? f (ax ? b)dx=

1 a

f(ax+b)d(ax+b)= 1 2

??

f

(u)du

? ? u ??

(x)



? ? ? ? tan xdx? sin x dx= ? 1 (cosx)′dx= ? 1 d(cosx) 令u ? cos x

cos x

cos x

cos x

?? 1 du??ln u +C ??ln cos x +C. u

? 类似地可得 cot xdx?ln sin x +C.

4、解

?x

? ? 1? x2 dx?? 1 2

1? x2 (1? x2 ) ' dx = ? 1

1
(1? x2 )2 d(1? x2 )

2

? 令u ? 1? x2 ? 1

1
u2

du?

?

1

u

3 2

+C??

1

3
(1 ? x2 ) 2 +C.

2

3

3

在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量 u,只需做到“心中有数”即可.

? ? ? 5、解

a2

1 ?

x2

dx?

1 a2

·1 1? ( x)2

dx? 1 a

1 d( x )? 1 arctan x +C.

1? ( x)2 a a

a

a

a

6、解

?

? ? 1 dx?

dx
?

a2 ? x2

a 1? ( x)2

d( x) a

?arcsin x +C.

1? ( x)2

a

a

a

? ? ? 7、解 sin3 xdx= (1? cos2 x) sinxdx?? (1? cos2 x) d(cosx)

? ? ?? d (cosx)+ cos2 xd(cosx)

15

??cosx+ 1 cos3 x+C. 3

? ? ? ? 8、解

sin2 xdx ?

1? cos 2x

dx? 1

d

1
x?

cos 2x

d(2x)?

1

1
x?

sin2x+C.

2

2

4

24

类似地可得

? cos2 xdx= 1 x+ 1 sin2x+C. 24

9、解

? ? 1 a2 ? x2

dx

?

1

dx

(a ? x)(a ? x)

?

1 2a

?

(

a

1 ?

x

?

a

1 ?

x

)dx

?

1 2a

? ??

?

d

(a ? x) a?x

?

?

d

(a ? x) a?x

? ??

?

1 2a

??ln

a

?

x

?

ln

a

?

x

??

+C? 1 ln 2a

a?x a? x

+C.

? ? ? ? 10、解

sec x dx?

1 dx? cos x

cos cos2

x x

dx?

1

?

1 sin 2

x

d(sinx)

? 1 ln 1? sin x +C (由例 8)? 1 ln(1? sin x)2 +C

2 1? sin x

2 cos x

?ln sec x ? tan x +C.

类似地可得

? csc x dx? ln csc x ? cot x +C.

11、解 利用三角函数的积化和差公式有

? ? ? ? cos3x cos2xdx? 1 (cosx+cos5x)dx? 1 cos x dx+ 1 cos5x d(5x)

2

2

10

1
?

sinx+

1

sin5x+C.

2 10

? ? 12、解

e3 x dx? 2 e3 x d (3 x ) = 2 e3 x +C.

x3

3

? ? ? 13、解 tan5 x sec3 x dx? tan4 x sec2 x secxtanxdx? (sec2 x ?1)2 sec2xd(sec x)

?? (sec6 x ? 2sec4 x ? sec2 x)d sec x

? 1 sec7 x ? 2 sec5 x ? 1 sec3 x +C.

7

5

3

16




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